Как обработать нажатие аппаратной кнопки Home?

Кнопку home нельзя отслеживать и перехватывать. Самый надежный способ отследить, что приложение свернуто - это иметь одно активити, а все реализовывать через фрагменты, тогда при вызове у активити метода onPause(), вы точно будете знать, что приложение свернуто.

Если порыться в тырнете, то предлагают использовать метод onUserLeaveHint(), но у меня не вышло его использовать, да и в описании сказано, что он вызывается, когда активити уходит в фон при действиях пользователя, а это не всегда ваш случай.