Советую почитать хотя бы эту статью, в частности про модульное и интеграционное тестирование. Также там ещё есть ручное и автоматизированное тестирование, но им, как правило, занимаются другие люди - QA и QC тестировщики соответственно. От разработчика обычно требуется написание юнит-тестов, в них следует описать крайние случаи методов, например. Это делается для того, что если кто-то делает изменения в коде и впоследствии прогоняет юнит-тесты, то он может найти ошибку в своем свежем коде. Если же функциональность меняется, то следует поменять и юнит-тест. Есть также фреймворки для юнит-тестов javascript.
JUnit - это библиотека для юнит тестов Java кода, так что сервер у вас или нет, абсолютно не имеет значения.
Обновление
В моей практике использовали Selenium, да и он вроде самый популярный для автотестов. Учтите, что это фактически освоение новой специализации - тестировщика.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Selenium
Вроде, там сводится к тому, что вы пишете Java код, который будет кликать на кнопочки, заполнять формочки и т.п. Видел в мониторе у тестировщиков. Больших подробностей не знаю, но можете погуглить в этой области, как минимум на хабре, вроде, есть какие-то статейки.