Имеем:
Вопрос: как при помощи этих инструментов организовать рабочий процесс?
Желаемое: при каждом коммите в ветку production отправлять изменения на сервер.
Сейчас: вручную(
А это вообще правильно на сервере держать гит с проектом? У меня проект локально хранится и кодится на моей станции, а уже готовый продук деплоится на сервак. Средствами SCP и т.п.
Я считаю, что держать на рабочем сервере git репозиторий немного плохо. Уже было несколько прецедентов с яндексом и другими.
Правильно - настроить гитхаб или гитлаб, куда могут пушить все разработчики, и держать ветку release, для которой настроить хук. При пуше в эту ветку изменения выливаются на продакшн. У них даже есть готовые системы - https://developer.github.com/v3/repos/deployments/
Но если от себя - то можно вместо scp использовать rsync. Это тот же протокол, просто он умеет синхронизировать по умному.