Как удалить название колонки, когда используешь value_counts() в pandas?

Совершенно непонятно, зачем, но можно так, например:

print(df["id"].value_counts().to_string(header=False))

Можно удалить имя индекса, присвоив ему None:

df = pd.DataFrame({'id':np.random.randint(100,110,100)})
vc = df['id'].value_counts()
vc.index.name = None
print(vc)

103    14
101    13
102    12
106    11
104    11
109     8
105     8
107     8
108     8
100     7
Name: count, dtype: int64

В вашем случае из-за конструкции df[['id']] формируется не просто индекс, а мультииндекс, поэтому можно сделать так:

df = pd.DataFrame({'id':np.random.randint(100,110,100)})
vc = df[['id']].value_counts()
vc.index.names = [None]
print(vc)