Судя по всему, у вас каждая страница подгружается самостоятельно. Т.е. при переходе между страницами каждый раз происходит загрузка страницы. Отсюда и сбрасывание текущего воспроизведения - плеер ведь не знает о том, что вы перешли между страницами. Для него каждая страница - это новое открытие страницы.
Отсюда вывод: надо либо сказать плееру, что мы проигрывали через куки (не знаю, есть ли плеер, который это может), либо делать автоподгрузку страниц (т.е. использовать шаблоны).
При использовании шаблонов у вас будет одна страница, контент которой меняется через AJAX-запросы. В таком случае ваш плеер можно будет расположить вне динамического контента, тогда он будет играть постоянно, даже при переходах между страницами.
Но плагин, который привел я, вроде как имеет один недостаток: все страницы доступны только по одному адресу. Поэтому нельзя будет дать ссылки на разные страницы (например, на контакты, меню и т.д.) - все ссылки будут вести только на главную страницу.
Но и это не проблема: некоторые плагины для jquery (и не только для него) поддерживают изменение строки браузера, при этом сам механизм работы остается прежним. Таким образом у каждой страницы будет свой собственный адрес (через хэштеги), но фактически работать вы будете по-прежнему с одной страницей. Т.е. ваш плеер будет продолжать играть без перерыва.
Так, например, сделано у VK и OK.
Насчет плеера, который через куки ловит, что надо проигрывать: не уверен, что такие вообще есть, т.к. в данном случае каждый раз при переходе между страницами придется загружать один и тот же аудиофайл (что не быстро).
Даже если файл будет быстро загружен, то при переходе между страницами все равно будет заикание, т.к. в момент перехода текущий dom будет уничтожен, а новый с плеером еще не загрузился.
А про фоновое воспроизведение на планшете: сам давно уже не работаю с html/js, поэтому точно не помню. Вроде как страница не закрывается, а просто сворачивается, поэтому воспроизведение и продолжается. Все, что надо, - ловить момент сворачивания и ручками останавливать воспроизведение, при разворачивании - продолжать воспроизведение.
Хотя еще раз - уже давно не работал с этим, может быть, там какие-то другие особенности.