Можно создать файл csv, туда и будут приходить имя пользователя
def log(update: Update, context: CallbackContext):
file = open('db.csv', 'a')
file.write(f'{update.effective_user.first_name}, {update.message.text}\n')
file.close()
В функции start вызвать log
def start(update, context):
log(update, context)
context.bot.send_message(update.effective_chat.id, "Привет \n Как дела?")
Как только пользователь наберет /start то в файл db.csv будет записана строка в виде имени пользователя и текста который он набрал, это и будет логирование
first_name /start