Равенство иррациональных чисел

Предположим что a ≠ b, но имеют одинаковые десятичные представления.

Рассмотрим случай a > b. Тогда a - b > 0. Существует натуральное p такое, что a - b > 10^-p. Рассмотрим первые p знаков после запятой в десятичных представлениях a и b. Так как они совпадают, то a - b < 10^-p. Противоречие: a - b одновременно больше и меньше некоторой константы. Следовательно предположение неверно и a = b.

Случай a < b рассматривается аналогично.

Строго говоря, конечно, какой формальный вопрос, такой и формальный ответ, который, совершенно корректный и правильный, был уже дан @StanislavVolodarskiy.

Однако, при таком формализме, слова вопроса "иррациональные числа" оказываются не при делах, да и те причины, по которым вопрос был задан несколько неясны, что как бы намекает... (Кроме того, честно говоря, я эту тему по школе не помню, может прогулял тот урок?)

Поэтому просто рассмотрим отображение между множеством действительных чисел и бесконечными десятичным представлениями.

• x - действительное число (с обычным, общепринятым, определением);
• <s, d_j>, s ∈ {-1, 1}, d_j ∈ [0, 9], j ∈ Z - бесконечное десятичное представление (знак и бесконечная последовательность цифр).

x = s × sum(j ∈ Z)(d_j × 10^-j)     (1)

Область определения

С одной стороны, все действительные числа, с другой стороны, десятичные представления с целой частью конечной длины. Действительно, легко показать, что для любого действительного числа x:

∀ j ≤ -⌈ log₁₀ |x|⌉   d_j = 0     (2)

И наоборот, ряд в правой части (1) сходится, ввиду свойств геометрической прогрессии, тогда и только тогда, когда:

∃ n ∈ Z ∀ j ≤ n   d_j = 0     (3)

Свойства отображения бесконечных десятичных представлений в действительные числа

Как было показано в ответе @StanislavVolodarskiy это отображение однозначно.

Свойства отображения действительных чисел в бесконечные десятичные представления

Очевидно, это отображение неоднозначно, например:

• 10 = 9,(9);
• 0 = -0.

Соответствующую теорему без доказательства см. Неоднозначность представления в виде десятичной дроби:

Теорема. Всякое действительное число 𝛼, непредставимое в виде p/10^s, где p, s ∈ Z и s ≥ 0, допускает единственное представление в виде десятичной дроби; при этом эта дробь является бесконечной.

Всякое действительное число вида 𝛼 = p/10^s может быть представлено в виде десятичной дроби более чем одним способом. Если 𝛼 ≠ 0, то оно может быть представлено, как в виде конечной десятичной дроби, а также бесконечной дроби, полученной приписыванием нулей в конец после запятой, так и в виде бесконечной дроби, оканчивающейся на 999…. Число 𝛼 = 0 может быть представлено дробями вида +0,00…, а также дробями вида −0,00….

В Википедии, вторая часть этой теоремы обосновывается тем, что в алгоритме разложения числа в десятичную дробь, на первом шаге с точным равенством, если таковое случится, можно выбрать, как левый отрезок, так и правый.

А первую часть этой теоремы можно обосновать рассмотрев последовательности: u_j = x + 𝛿_j и l_j = x - 𝛿_j, где 𝛿_j > 0 и x = lim(j → +∞)(u_j) = lim(j → +∞)(l_j). Ввиду свойств распространения переноса, пределы десятичных представлений этих последовательностей не будут совпадать, только в случае если они заканчиваются бесконечной последовательностью цифр 0 или 9, поскольку только в этих случаях распространение переноса неограничено (либо различия знаков, в случае x = 0).

Итого

Для множества иррациональных чисел (а так же подмножества рациональных, не имеющих точного конечного десятичного представления) имеем взаимную однозначность отображения на соответствующее подмножество бесконечных десятичных представлений.

Т.е., и слова вопроса "иррациональные числа" оказались при деле, и смысл вопроса, какой-никакой появился.

P.S.

Такой вот пердимонокль выходит, если есть точное представление, то оно неоднозначно, а если есть однозначное представление, то оно бесконечное и точно непредставимо. 😉 Хотя в математике, часто так выходит. 😉

P.P.S.

Похоже на то, что как заметил @StanislavVolodarskiy , невозможно (непросто) определить непрерывное ("хорошее") взаимооднозначное отображение между множеством действительных чисел и бесконечными десятичным представлениями.