Самый простой способ добавить элемент в начало и удалить в конце в Java

Подскажите, как Java создать динамический массив (карту)

Вы, наверное, имеете в виду map (обычно ее начинающие ошибочно называют картой)? Слово "map" имеет несколько переводов, в зависимости от контекста употребления, и здесь верный перевод - это "отображение" (этот термин пришел из дискретной математики). Отображение в Java можно создать на базе дерева или hash таблицы, не думаю, что что-то из этого вам подойдет.

Как реализовать это самым быстрым и дешевым методом это в Java?

Вам нужен двусвязный список:

 Deque<Integer> deque = new LinkedList<Integer>();
 deque.addAll(Arrays.asList(20, 30, 40, 50, 60));
 deque.addFirst(10);        // O(1)
 deque.removeLast();        // O(1)

Подскажите, пожалуйста, в данном случае на организацию списка, вставку и удаление будет затрачено меньше памяти и процессорного времени чем для "сдвига" всего массива

Есть эмпирическое правило выбора структуры данных в вашем случае:

1. Массив хорош для быстрого доступа на чтение к любому его элементу, вставки элементов в конец, удаления элементов с конца. Все эти действия выполняются очень быстро. Вставка (либо удаление) в начало или вставка (либо удаление) в середину приводят наихудшему времени (т.к. приходится выделять новый кусок памяти и копировать туда измененный массив).
2. Двусвязный список хорош для быстрой вставки (либо удаления) элементов в конце и в начале. Вставка (либо удаление) элементов в середину требует больше времени, но выполняется все-равно быстрее, чем в массиве (т.к. не требует копирования абсолютно всей структуру данных, как это необходимо для массива). Произвольный доступ к элементам (кроме, первого и последнего) в списке требует больше затрат времени, чем в массиве.

Если максимальное количество элементов известно, а добавляются и удаляются они только с головы и хвоста, то самой эффективной структурой (независимо от Java или Си или ...) будет использование массива фиксированного размера.

Только у него должна быть "плавающая" точка отсчета (так сказать, виртуальный нулевой индекс). Т.е. храните индекс "нуля" (ihead) и текущий размер (length). Индекс последнего (точнее первого свободного в хвосте = (ihead + lenght) % size).

Т.е. вставка новой головы это в ihead - 1 и length++, а удаление хвоста -- тривиально length--

Ну, думаю, далее сами разберетесь.

--

Кстати (@Xmaster, спасибо за подсказку), подобная структура данных называется кольцевой (или циклический) буфер (cyclic buffer или ring buffer).